حل تمرین صفحه 45 ریاضی یازدهم تجربی

## الف) مثلث‌های قائم‌الزاویه با زاویهٔ $60^{\circ}$ **۱. اثبات تشابه** فرض می‌کنیم مثلث‌های داده شده $\triangle ABC$ و $\triangle A'B'C'$ باشند. * $\hat{B} = 90^{\circ}$ و $\hat{B}' = 90^{\circ}$. (زاویهٔ قائمه) * $\hat{C} = 60^{\circ}$ و $\hat{C}' = 60^{\circ}$. (زاویهٔ $60^{\circ}$) چون دو زاویه برابرند، مثلث‌ها **متشابه‌اند** (حالت $\text{ز ز}$). $$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$ **۲. تعیین مقادیر $x$ و $y$** اضلاع متناظر: $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$. * اضلاع وتر: $A'C' = 2b, AC = a$. * اضلاع مقابل $60^{\circ}$: $A'B' = 2a, AB = c$. * اضلاع مجاور $60^{\circ}$: $B'C' = b, BC = 2c$. $$\frac{a}{2b} = \frac{c}{2a} = \frac{2c}{b}$$ از تساوی اول و دوم: $2a c = 2a c$. از تساوی اول و سوم: $ab = 4bc \Rightarrow a = 4c$. از تساوی دوم و سوم: $c b = 4a c \Rightarrow b = 4a$. *(توجه: با توجه به صورت مسئله، مقادیر $x$ و $y$ در شکل الف مشخص نشده‌اند. اگر منظور $a$ و $b$ و $c$ باشد، این مقادیر وابسته به هم و متناسب هستند. اما در شکل مثلث سمت راست، وتر $x$ است.)* با فرض اینکه $a, b, c$ طول اضلاع هستند و $x$ وتر مثلث سمت راست و $y$ (نداریم) در سمت چپ است: $$ \frac{x}{2b} = \frac{c}{2a} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{x}{2b} = \frac{a}{b} \Rightarrow x = 2a$$ **مقادیر**: با توجه به ابهام در مجهولات، پاسخ با فرض تناسب داده شده است. $$\frac{\text{وتر}}{\text{وتر}} = \frac{\text{ضلع متناظر}}{\text{ضلع متناظر}}$$ $$\frac{x}{2b} = \frac{a}{2b} \quad \text{نادرست.}\quad \text{با تناسب صحیح: } \frac{x}{2b} = \frac{c}{2a} \quad \text{و} \quad \frac{x}{2b} = \frac{a}{b}$$ **اگر $\frac{a}{2b} = \frac{c}{2a}$ درست باشد**: $x=a$ (طول وتر) و $y$ مشخص نیست. $$\text{تشابه}: \triangle (c, a, x) \sim \triangle (2a, b, 2b) \Rightarrow \frac{x}{2b} = \frac{a}{b} \Rightarrow x = 2a$$ $$\text{مقادیر}: \text{با } x = 2a \text{، } \frac{c}{2a} = 2 \Rightarrow c = 4a \text{ و } \frac{2a}{b} = 2 \Rightarrow b = a$$ اگر $x$ را وتر بگیریم، $x = 2b \times \frac{a}{b} = 2a$. (با فرض $a$ متناظر $b$) $$\text{جواب احتمالی}: x = 2a$$ --- ## ب) مثلث‌های نامگذاری نشده **۱. اثبات تشابه** * زاویه‌های $x$ و $y$ در دو مثلث با هم برابرند ($at{x} = \hat{y}$). (زاویهٔ داده شده) * زاویه‌های $at{b}$ و $at{c}$ در دو مثلث با هم برابرند ($at{b} = \hat{c}$). (زاویهٔ داده شده) چون دو زاویه برابرند، مثلث‌ها **متشابه‌اند** (حالت $\text{ز ز}$). $$\triangle (x, b, \text{ضلع } c) \sim \triangle (y, c, \text{ضلع } a)$$ **۲. تعیین مقادیر $x$ و $y$** مجهول $x$ در این قسمت یک زاویه است. $at{x} = \hat{y}$. مقدار $x$ مشخص نیست. اگر $a, b, c$ طول اضلاع هستند، تناسب اضلاع: $$\frac{\text{ضلع مقابل } \hat{x}}{\text{ضلع مقابل } \hat{y}} = \frac{\text{ضلع مقابل } \hat{b}}{\text{ضلع مقابل } \hat{c}}$$ $$\frac{c}{a} = \frac{ ext{ضلع مقابل } \text{سوم}}{\text{ضلع مقابل } \text{سوم}} = k$$ $$\text{تشابه}: \triangle (\text{چپ}) \sim \triangle (\text{راست})$$ $$\text{مقادیر}: \text{نیاز به مقادیر عددی یا عبارات بیشتر است.}$$ --- ## پ) مثلث‌های متقاطع ($C$ نقطهٔ تقاطع) **۱. اثبات تشابه** * زاویهٔ $\hat{C}_1 = \hat{C}_2$ (مقابل به رأس) * اضلاع روبه‌روی این زاویه‌ها (ضلع‌های معلوم): $\frac{2}{3} = \frac{3}{4.5} = 0.666$ * نسبت اضلاع مجاور زاویهٔ $at{C}$: $$\frac{2}{3} = 0.666 \quad \text{و} \quad \frac{3}{4.5} = \frac{3}{9/2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = 0.666$$ چون نسبت دو ضلع برابر است و زاویهٔ بین آن‌ها ($\hat{C}$) برابر است، مثلث‌ها **متشابه‌اند** (حالت $\text{ض ز ض}$). $$\triangle (2, 3) \sim \triangle (3, 4.5)$$ **۲. تعیین مقادیر $x$ و $y$** * **نسبت تشابه**: $k = \frac{2}{3} = \frac{3}{4.5} = \frac{x}{6}$. * **محاسبهٔ $x$**: $$\frac{2}{3} = \frac{x}{6} \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$$ * **محاسبهٔ $y$**: $y$ در این شکل مجهول نیست، $3/5$ است. $$\text{تشابه}: \triangle (2, 3) \sim \triangle (3, 4.5)$$ $$\text{مقادیر}: x = 4, \quad y \text{ نامشخص (با فرض } \frac{3}{5} \text{ خطا در متن سوال)}.$$

این تمرینات کاربرد مستقیم روابط واسطه‌های هندسی در $\triangle ABC$ (قائم‌الزاویه در $A$) و ارتفاع $AH$ بر وتر $BC$ هستند. ## الف) $BH = 9, BC = 10$ * $CH = BC - BH = 10 - 9 = 1$. * $AB^2 = BH \times BC = 9 \times 10 = 90 \Rightarrow AB = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$. * $AC^2 = CH \times BC = 1 \times 10 = 10 \Rightarrow AC = \sqrt{10}$. * $AH^2 = BH \times CH = 9 \times 1 = 9 \Rightarrow AH = 3$. $$\text{جواب‌ها}: AC = \sqrt{10}, AB = 3\sqrt{10}, AH = 3$$ --- ## ب) $CH = 2, AC = 5$ * $AC^2 = CH \times BC \Rightarrow 5^2 = 2 \times BC \Rightarrow 25 = 2 BC \Rightarrow BC = 12.5$. * $BH = BC - CH = 12.5 - 2 = 10.5$. * $AB^2 = BH \times BC = 10.5 \times 12.5 = 131.25 \Rightarrow AB = \sqrt{131.25} = \frac{\sqrt{525}}{2} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$. * $AH^2 = BH \times CH = 10.5 \times 2 = 21 \Rightarrow AH = \sqrt{21}$. $$\text{جواب‌ها}: BC = 12.5, AB = \frac{5\sqrt{21}}{2}, AH = \sqrt{21}$$ --- ## پ) $AB = 8, AC = 6$ * $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \Rightarrow BC = 10$. * $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{8 \times 6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8$. $$\text{جواب‌ها}: BC = 10, AH = 4.8$$ --- ## ت) $AB = 12, AH = 6$ * $AB^2 = BH imes BC$. همچنین $AB = c = 12$ و $BH = d$. * $12^2 = BH \times BC \Rightarrow 144 = BH \times BC$. (I) * $AH^2 = BH \times CH \Rightarrow 6^2 = BH \times CH \Rightarrow 36 = BH \times CH$. (II) * از (I) و (II) نمی‌توان مستقیماً $BH$ را یافت. به جای آن، از $BC = BH + CH$ استفاده می‌کنیم. $$BC = \frac{144}{BH} \quad \text{و} \quad CH = \frac{36}{BH}$$ $$BC = BH + CH \Rightarrow \frac{144}{BH} = BH + \frac{36}{BH}$$ طرفین را در $BH$ ضرب می‌کنیم: $$144 = BH^2 + 36 \Rightarrow BH^2 = 108 \Rightarrow BH = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$ * $BC = \frac{144}{BH} = \frac{144}{6\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$. * $AC^2 = BC^2 - AB^2 = (8\sqrt{3})^2 - 12^2 = 192 - 144 = 48 \Rightarrow AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. $$\text{جواب‌ها}: BH = 6\sqrt{3}, BC = 8\sqrt{3}, AC = 4\sqrt{3}$$

مستطیل $ABCD$ را در نظر بگیرید. $AB$ طول و $AD$ عرض مستطیل است. * $AB = 12$. * $\triangle ABD$ قائم‌الزاویه در $A$ است. $AH$ عمود وارد بر وتر $BD$ است. * $BH = 11$. **۱. محاسبهٔ طول قطر مستطیل ($BD$)** از رابطهٔ واسطه‌های هندسی برای ضلع قائم $AB$ در $\triangle ABD$ استفاده می‌کنیم ($AB^2 = BH \times BD$): $$12^2 = 11 \times BD \Rightarrow 144 = 11 \times BD \Rightarrow BD = \frac{144}{11}$$ $$\text{طول قطر مستطیل}: BD = \frac{144}{11} \quad (\approx 13.09)$$ **۲. محاسبهٔ اندازهٔ عمود رسم شده ($AH$)** ابتدا $DH$ را محاسبه می‌کنیم: $DH = BD - BH = \frac{144}{11} - 11 = \frac{144 - 121}{11} = \frac{23}{11}$. از رابطهٔ مربع ارتفاع ($AH^2 = BH \times DH$) استفاده می‌کنیم: $$AH^2 = 11 \times \frac{23}{11} = 23 \Rightarrow AH = \sqrt{23}$$ $$\text{اندازهٔ عمود رسم شده}: AH = \sqrt{23} \quad (\approx 4.8)$$ **۳. محاسبهٔ اندازهٔ عرض مستطیل ($AD$)** از قضیهٔ فیثاغورس در $\triangle ABD$ استفاده می‌کنیم: $AD^2 + AB^2 = BD^2$ $$AD^2 + 12^2 = \left(\frac{144}{11}\right)^2$$ $$AD^2 = \frac{20736}{121} - 144 = \frac{20736 - 17424}{121} = \frac{3312}{121}$$ $$AD = \sqrt{\frac{3312}{121}} = \frac{\sqrt{3312}}{11} = \frac{12\sqrt{23}}{11}$$ $$\text{اندازهٔ عرض مستطیل}: AD = \frac{12\sqrt{23}}{11} \quad (\approx 5.25)$$ *(همچنین می‌توان از $AD^2 = DH \times BD$ استفاده کرد: $AD^2 = \frac{23}{11} \times \frac{144}{11} = \frac{3312}{121}$.)*

این مسئله با استفاده از **تشابه مثلث‌ها** حل می‌شود (تشابه سایهٔ چوب و سایهٔ نورافکن). **۱. شناسایی مثلث‌ها و تشابه** * **مثلث کوچک**: سایهٔ چوب. ارتفاع $= 1$ متر. قاعده (سایه) $= 5$ متر. ($\triangle ABC$) * **مثلث بزرگ**: سایهٔ نورافکن. ارتفاع $= 60$ متر. قاعده (فاصلهٔ مرد تا پایهٔ نورافکن) $= x + 5$. ($\triangle ADE$) این دو مثلث قائم‌الزاویه در نقطهٔ پایه هستند و زاویهٔ مشترک در نقطهٔ دید مرد (رأس مشترک) دارند. پس **متشابه‌اند** (حالت $\text{ز ز}$). **۲. نوشتن تناسب تشابه** $$\frac{\text{ارتفاع کوچک}}{\text{ارتفاع بزرگ}} = \frac{\text{قاعدهٔ کوچک}}{\text{قاعدهٔ بزرگ}}$$ $$\frac{1}{60} = \frac{5}{\text{فاصلهٔ مرد تا نورافکن} + \text{سایهٔ چوب}}$$ $$ \frac{1}{60} = \frac{5}{x + 5}$$ *در اینجا $x$ فاصلهٔ پایهٔ نورافکن تا ابتدای سایهٔ چوب است. اما منظور از 'فاصلهٔ مرد تا پایهٔ نورافکن' فاصلهٔ نقطهٔ دید تا پایه است، که همان طول ضلع بزرگ مثلث است.* $$\frac{1}{60} = \frac{5}{\text{قاعدهٔ بزرگ}}$$ $$\text{قاعدهٔ بزرگ} = 60 \times 5 = 300 \text{ متر}$$ **۳. تعیین فاصلهٔ مرد تا پایهٔ نورافکن** **فاصلهٔ مرد تا پایهٔ نورافکن** همان طول **قاعدهٔ بزرگ** مثلث تشابه است. $$\text{فاصله} = 300 \text{ متر}$$ $$\text{جواب}: 300 \text{ متر}$$

در شکل، دو مثلث قائم‌الزاویهٔ $\triangle ABC$ و $\triangle EDC$ وجود دارند که در رأس $C$ مقابل به رأس‌اند. $$\hat{ACB} = \hat{ECD}$$ $$\hat{B} = 90^{\circ}, \quad \hat{D} = 90^{\circ}$$ چون دو زاویه برابرند، مثلث‌ها **متشابه‌اند**: $\triangle ABC \sim \triangle EDC$. **۱. تعیین نسبت تشابه ($k$)** از اضلاع داده شده (اضلاع قائم) نسبت تشابه $k$ را محاسبه می‌کنیم: * ضلع قائم $AB = 5$. * ضلع قائم $DE$ معلوم نیست. * وتر $AC$ معلوم نیست. * وتر $CE = 15$. * $BC$ و $CD$ معلوم نیست. با توجه به تشابه، اضلاع مقابل به زوایای برابر متناظرند: $\frac{AC}{CE} = \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CD}$. $$\text{تناسب}: \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{CE}$$ **اشکال**: مقادیر کافی برای محاسبهٔ نسبت تشابه داده نشده است. **اگر فرض کنیم** $AB=5$ و $DE=15$ اضلاع متناظر باشند (بر اساس تشابه $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ و مقابل به زوایای $\hat{C}$ نباشند): $$\text{نسبت تشابه } k = \frac{\text{ضلع متناظر کوچک}}{\text{ضلع متناظر بزرگ}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$ **۲. نسبت محیط‌ها** نسبت محیط‌ها برابر با **نسبت تشابه** است: $$\frac{P_{ABC}}{P_{EDC}} = k = \frac{1}{3}$$ **۳. نسبت مساحت‌ها** نسبت مساحت‌ها برابر با **مربع نسبت تشابه** است: $$\frac{S_{ABC}}{S_{EDC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$ $$\text{نسبت محیط‌ها}: \frac{1}{3}, \quad \text{نسبت مساحت‌ها}: \frac{1}{9}$$

فرض: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ با نسبت تشابه $k$. ## الف) اثبات تشابه $\triangle AHB$ و $\triangle A'H'B'$ * $AH$ و $A'H'$ ارتفاع‌اند، پس $\hat{AHB} = 90^{\circ}$ و $\hat{A'H'B'} = 90^{\circ}$. پس $\hat{AHB} = \hat{A'H'B'}$. * چون $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, زوایای متناظر برابرند: $\hat{B} = \hat{B}'$. * چون دو زاویه برابرند، مثلث‌های قائم‌الزاویه $\triangle AHB$ و $\triangle A'H'B'$ **متشابه‌اند** (حالت $\text{ز ز}$). $$\triangle AHB \sim \triangle A'H'B'$$ --- ## ب) نسبت ارتفاع‌ها از تشابه $\triangle AHB \sim \triangle A'H'B'$، نسبت اضلاع متناظر برابر با نسبت تشابه اصلی ($k$) است: $$\frac{AH}{A'H'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{HB}{H'B'} = k$$ $$\text{نسبت ارتفاع‌ها}: \frac{AH}{A'H'} = k$$ --- ## پ) نسبت مساحت‌ها مساحت $\triangle ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \times AH$. مساحت $\triangle A'B'C'$: $S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} B'C' \times A'H'$. $$\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = \frac{\frac{1}{2} BC \times AH}{\frac{1}{2} B'C' \times A'H'} = \left(\frac{BC}{B'C'}\right) \times \left(\frac{AH}{A'H'}\right)$$ از قسمت (ب) و فرض مسئله: $\frac{BC}{B'C'} = k$ و $\frac{AH}{A'H'} = k$. $$\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = k \times k = k^2$$ $$\text{نسبت مساحت‌ها}: k^2$$ --- ## ت) نسبت محیط‌ها نسبت محیط‌های دو شکل متشابه برابر با **نسبت تشابه** است: $$\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = k$$ $$\text{نسبت محیط‌ها}: k$$